la theorie du chaos

Vidéo 2: Discussion about chaos

Analyse

D’une manière générale, la théorie du chaos traite des systèmes dynamiques rigoureusement déterministes, mais qui présentent un phénomène fondamental d'instabilité appelé « sensibilité aux conditions initiales » qui, modulant une propriété supplémentaire de récurrence, les rend non prédictibles en pratique sur le « long » terme

Cette vidéo s’inscrit dans la continuité du cours et nous explique en détail cette théorie. Au 17ème siècle, les grands noms de l’Histoire tels que Laplace, Newton ou Galilée pensaient que l’on pouvait prédire l’avenir, que la nature était suffisamment empreinte de déterminisme pour cela.

Selon Laplace : « Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l'espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux, et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles et font leur véritable gloire. »

Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.

Au 20ème siècle, Poincaré vint les contredire en avançant que : « Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes différences dans les phénomènes finaux : une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Cette citation signifie que rien ne peut être prédit avec exactitude et que la moindre erreur produite au début du processus peut engendrer une erreur conséquente sur le résultat. Impossible donc de prédire l’avenir avec exactitude.

Citation de Poincaré : « Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Poincaré met en exergue le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de sensibilité aux conditions initiales : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial dans l'espace des phases va se trouver (presque toujours) rapidement amplifiée.

Lorenz a expérimenté la pensée de Poincaré en mettant en place un système automatisé de calcul par le biais d’ordinateurs et de calculatrices. Il démontra ainsi que, même avec la plus simple des équations, on peut aboutir à une erreur finale particulièrement importante si l’on arrondit (même au 100000ème chiffre après la virgule) une des valeurs initiales de l’équation. Quantitativement, la croissance de l'erreur est exponentielle pour les systèmes fortement chaotiques ainsi que pour les systèmes très fortement chaotiques. Cette amplification des erreurs rend rapidement totalement inopérante la notion de prédiction. L’erreur augmente de manière exponentielle dans la mesure où on réitère le calcule avec une valeur qui n’est pas exacte. On reprend une erreur pour réitérer l’opération, ceci aboutit bien évidemment à une erreur finale conséquente.

Lorenz a pris soin de refaire l’expérience avec plusieurs ordinateurs et calculatrices différentes mais en vain. Même le plus cher et le plus sophistiqué des ordinateurs ne peut donner un calcul exact après un certain nombre de réitération. Pire même, Lorenz a obtenu différents résultats avec différents ordinateurs et pourtant avec la même équation de départ. Il faut cependant reconnaître que plus l’ordinateur ou la calculatrice est performante, moins la marge de l’erreur sera importante.

Tout cela nous permet d’avancer que rien ne peut être prédit avec exactitude et qu’il faut se méfier des prédictions faites à partir d’équations simples comme celle de Lorenz. Rien ne peut être prévu avec précision et encore moins lorsque l’on se positionne sur du long terme. Tout est affaire de conditions initiales.

Lorenz utilisa la métaphore du papillon pour illustrer ses idées : « un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? » Selon lui : « Si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce. Et si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher. »

Conclusion

Au final, on peut dire que cette vidéo insiste sur l’importance des conditions initiales et démontre la non exactitude des prédictions de notre monde rempli d’imprévisibilités bien qu’étant à la base déterminé (c'est-à-dire que chaque événement est déterminé par un principe de causalité scientifique, tout peut s’expliquer). Le présentateur fait aussi par ailleurs état de l’existence des règles universelles concernant le chaos. Le chaos n’est pas forcément un mauvais présage. Il faut juste apprendre à l’apprivoiser et à s’en servir.